Probabilidad condicionada
Probabilidad condicional
La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicional y se define
$$ p(A|B)= \frac {p(A \cap B)} {p(B)} \qquad si \ P(B) \neq 0$$
Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.
Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.
Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
$$ p(6 \ | \ par)= \frac {\frac {1}{6}} {\frac {3}{6}} = \frac {1}{3}$$
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
$$ p\left ( A \mid B \right ) = p(A) $$
$$ p\left ( A \cap B \right ) = p(A) \cdot P(B) $$
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
Solución
La probabilidad de obtener un as, cualquiera que sea es
$$ P(A)= \frac{4}{40} $$
La probabilidad de sacar un segundo as, dadas las condiciones del experimento es
$$ P(B)= \frac{4}{40} $$
entonces
$$ p\left ( A \cap B \right ) = p(A) \cdot P(B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{40} \cdot \frac{4}{40} = \frac{1}{100} $$
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
$$ p\left ( A \mid B \right ) \neq p(A) $$
$$ p\left ( A \cap B \right ) = p(A) \cdot P(B \mid A) $$
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?
La probabilidad de obtener un as, cualquiera que sea es
$$ P(A)= \frac{4}{40} $$
La probabilidad de sacar un segundo as, dadas las condiciones del experimento es
$$ P(B)= P(B \mid A) = \frac{3}{40} $$
entonces
$$ p\left ( A \cap B \right ) = p(A) \cdot P(B \mid A) = \frac{4}{40} \cdot \frac{3}{40} = \frac{1}{130} $$