Teorema de Bayes
Antes de entrar al teorema de Bayes, es necesario definir la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades condicionales.
$$ p(B) = \sum_{i=1}^n p(A_i) \cdot P(B \mid A_i) $$
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejercicio
Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?
Condiciones:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.
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Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de cierta persona sea tu próximo jefe) deducimos la probabilidad del suceso B (que te aumenten el sueldo).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (te han subido el sueldo) deducimos las probabilidades del suceso A (¿quién es el nuevo jefe?).
La fórmula del teorema de Bayes es:
$$ p(A_i \mid B) = \frac {P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)} {\sum p(A_i) \cdot P(B \mid A_i)} $$
Recordemos que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Retomemos el ejercicio
Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
Resulta que te subieron el sueldo, pero no sabemos quien es el nuevo jefe. El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades.
Las probabilidades que manejamos antes de conocer quien fue el jefe se llaman probabilidades a priori (salió Carlos con 5%, salió Juan con 20% y salió Luis con 60%).
Una vez que incorporamos la información que te subieron el sueldo, las probabilidades del suceso A cambian; son probabilidades condicionadas $$ P(A \mid B) $$ que se denominan probabilidades a posteriori.
a) Probabilidad de que el jefe fuera Carlos
Sean las probabilidades
$$ P(A_1) = 0.6 $$
$$ P(A_2) = 0.3 $$
$$ P(A_3) = 0.1 $$
y
$$ P(B \mid A_1) = 0.05 $$
$$ P(B \mid A_2) = 0.2 $$
$$ P(B \mid A_3) = 0.6 $$
Por tanto, la probabilidad de que el nuevo jefe sea Carlos (Ai) dado que te aumentaron el sueldo (B) es
$$ p(A_i \mid B) = \frac {P(0.6) \cdot P(0.05)} {(p(0.6) \cdot P(0.05)) + ( p(0.3) \cdot P(0.2)) + (p(0.1) \cdot P(0.6)) } = \frac {0.03} {0.15} = 0.2 $$
Calcula por tu cuenta la probabilidad de que el jefe fuera Juan.
También puedes calcular la probabilidad de que el jefe fuera Luis o Juan, dado que te aumentaron el sueldo.
Y para terminar, podrías calcular la probabilidad de que el nuevo jefe sea Luis dado que NO te aumentaron el sueldo. Seguramente esta pregunta estará en el examen.