Función de distribución de una variable aleatoria
La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función $$ F_X(x) $$ que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad dada por la siguiente expresión: $$ F_X(x) = P( X \le x )$$ Y de manera que se cumplan $$ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 y \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 $$
La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.
Definición
Sea X la variable aleatoria que toma los valores $$ \{X_1, X_2, X_3, … , X_n \} $$
Se define la función de probabilidad de X como $$ P \lbrack X =X_i \rbrack = p_i \qquad \qquad \qquad ( i \ge 1) $$
Ejemplo
Se define la variable aleatoria X= # águilas obtenidas en 2 lanzamientos de una moneda.
La función de probabilidad de la variable X
$$ X_i $$ | 0 | 1 | 2 |
$$ P \lbrack X=X_i \rbrack $$ | $$ \frac{1}{4} $$ | $$ \frac{1}{2} $$ | $$ \frac{1}{4} $$ |
de la tabla se obtiene
$$ P \lbrack X=0 \rbrack = \frac{1}{4} $$
$$ P \lbrack X=1 \rbrack = \frac{1}{2} $$
$$ P \lbrack X=2 \rbrack = \frac{1}{4} $$
que es la definición que pusimos arriba
$$ P \lbrack X =X_i \rbrack = p_i $$
Propiedades de la función de probabilidad
$$ P \lbrack X =X_i \rbrack > 0 $$
y
$$ \sum_{i=1}^n P \lbrack X =X_i \rbrack = 1 = P \lbrack X =X_1 \rbrack + P \lbrack X =X_2 \rbrack + … + P \lbrack X =X_n \rbrack $$
Es decir, que una función de probabilidad toma valores entre 0 y 1