Métodos de conteo y combinatorios
A veces determinar el espacio muestral es fácil, con un poco de imaginación. Por ejemplo, podemos determinar que el espacio muestral del experimento tirar una moneda tiene dos resultados. Y tirar un dado, 6 resultados.
Pero otras veces determinar el espacio muestral resulta complicado. Porque depende del número de elementos resultante y de las condiciones del experimento.
Por ejemplo, cuantas placas se pueden hacer en el D. F.? Este sería el espacio muestral.
Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto.
¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10X10X10 = 1000.
Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa.
La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26X26X26 = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: 999X17,576 = 17’558,424
Por favor, lista el espacio muestral (es broma).
Este experimento tiene algunas consideraciones: Primero, un elemento se puede repetir. Es decir, el muestreo es con reemplazo. Es válida la placa 111AAA
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 n2 maneras diferentes.
Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,…, y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r acciones se pueden realizar de n1 n2 …nr maneras diferentes.
Esta forma de contar denominada regla M·N o principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.
Aquí hay algo importante. Cada vez que calculamos una posición en el caso de las placas de automóvil, consideramos un arreglo de posibles resultados (por ejemplo, el primer espacio de letras, tiene 26 posibilidades; el segundo espacio de letras también tiene 26 posibilidades. Y el último espacio de letras, 26 posibilidades). ¿Qué pasa cuando estas posibilidades cambian? Por ejemplo, recuerdan el juego de las sillas? Había n sillas y r jugadores, donde siempre el número de sillas era menor al de jugadores. Se tocaba música y se paraba. En ese momento, el jugador que no tuviera silla, perdía.
Si tenemos 5 sillas y 6 jugadores, ¿de cuantas formas diferentes se pueden sentar los jugadores? Evidentemente la primera silla tiene 6 formas diferentes, pero una vez que el jugador n1 se sienta, la silla dos tiene 5 formas diferentes. Al ocupar la segunda silla el jugador n2, la tercera silla tiene 4 formas diferentes y así. No es como en el caso de las letras, que una vez ocupada la primera posibilidad, la segunda tiene el mismo número de posibilidades.
En este ejemplo, la forma de sentarse de los jugadores está dada por la regla M·N pero modificada. Hay 6X5X4X3X2=720 formas diferentes de ocupar 5 sillas por 6 jugadores. En este caso, se dice que es sin reemplazo. Es decir, una vez ocupada una posición esta no se puede repetir. En el caso de las placas, tanto los números como las letras se podían repetir. Esto es, había reemplazo. El muestreo con reemplazo o sin reemplazo es un término importante que hay que recordar.
Cuando se aplica el prinicipio multiplicativo con reemplazo, podemos usar la regla M·N. Cuando no hay reemplazo, se habla de permutaciones.
Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Es decir, el órden es importante.
Notación: Pn Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n – 1) maneras diferentes,…, y la elección del n-ésimo objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene: Pn n(n-1)X(n-2)…3X2X1, que nos conduce a la definición de factorial:
Pn=n!
cuando consideramos que n=r. Cuando no es así, la fórmula considera el valor de r
$$rP_n=\frac{{n!}}{(n-r)!}$$
Número factorial
El factorial de un número es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el número dado n, inclusive.
n!=1·2·3·4…·(n-2)·(n-1)·n
Invocando la propiedad conmutativa de la multiplicación, esta fórmula se escribe más comúnmente como:
n!=n·(n-1)·(n-2) … 3·2·1
e invocando ahora la propiedad asociativa de la multiplicación, la fórmula se puede escribir
n! = n·(n-1) !
que es la llamada fórmula fundamental del factorial.
Combinaciones
Se llama combinaciones de n elementos tomados de r en n (n ≥ r) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que:
-
- No entran todos los elementos.
- No importa el orden.
- No se repiten los elementos.
La fórmula para el cálculo de combinaciones es
$$\frac{n!}{r!(n-r)!} $$
Ahora, compárala con las permutaciones. ¿ves la diferencia?
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra “combinación” descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras: “Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas”: no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser “bananas, uvas y manzanas” o “uvas, manzanas y bananas”, es la misma ensalada.
“La combinación de la cerradura es 472”: ahora sí importa el orden. “724” no funcionaría, ni “247”. Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
-
- Si el orden no importa, es una combinación.
- Si el orden sí importa es una permutación.
Con otras palabras: Una permutación es una combinación ordenada.
Para ayudarte a recordar, piensa en “Permutación… Posición”
Vamos viendo un ejemplo, muy didáctico.
Supongamos una loteria de 5 numeros. Cuantos boletos de lotería tendremos?
Si hay reemplazo: Regla M·N : 10·10·10·10·10= 100, 000 boletos.
Si no hay reemplazo, es decir, una vez tomado un número, este no se puede repetir: El order importa:
$$5P_{10}=\frac{{10!}}{(10-5)!}$$
=10·9·8·7·6·5=30,240
Esto es, el arreglo 1-2-3-4-5 es diferente del 5-4-3-2-1. Pero si lo que quisieramos es dar al ganador que le atine a 5 números sin importar el órden, tendríamos que usar combinaciones.
$$\frac{10!}{5!(10-5)!}$$
El resultado sería 252 quintetas diferentes.