Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades. Utilizando esta teoría, denotamos como A∪B a la unión de A y B que es el conjunto de todos los puntos que pertenecen a A o a B (o a ambos).
La intersección A∩B de estos conjuntos se define como el conjunto de todos los puntos que pertenecen a A y a B simultáneamente.
Si A∩B=∅ (no contiene puntos), A y B son mutuamente excluyentes.
Graficamente esto queda así:
Por ejemplo
A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }
B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }
A U B = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía,durazno,melón, plátano }
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:
A ∩ B = { x | x ∈ A y x ∈ B }
Esta notación se lee así: A intersección B es igual a los elementos X tal que X pertenece a A y X pertenece a B.
Por ejemplo:
A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }
B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }
A ∩ B = { uva,naranja,sandía }
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común.
Por ejemplo:
A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }
E = {limón, fresa, pera,mandarina,cereza}
A ∩ E = φ
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A’.
Esto es:
A’ = { x ∈U x∉ A}
o gráficamente
Ejemplo.
U = {mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón, plátano}
A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }
A’ = {kiwi, pera,cereza,durazno,limón,melón, plátano }
En este ejemplo se puede notar como
η(A)+ η( A’ ) = η(U )
De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:
(A’)’ = A
φ’ =U
U ‘ = φ
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
A − B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
Ejemplo.
A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }
B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }
A − B = {mango,ciruela,manzana }
B − A = {durazno,melón, plátano } Se puede advertir como
A − B ≠ B − A
En resumen y leyendo con cuidado:
A − B = A ∩ ‘B
A − B = φ, sí y sólo sí :A ⊂ B
A − B = B − A sí y sólo sí : A = B
A − B = A sí y sólo sí : A∩ B = φ
(A − B) ⊂ A
A − φ = A
A − B = B’−A’
Los conjuntos A − B, A ∩ B, B − A son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío).
Veamos algunos ejemplos.
Sean los conjuntos:
U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n}
A = { a, d, e, g, h, k, l, n }
B = { a, c, f, g, k, l, m}
Obtener:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A’
d) B’
e) A − B
f) B − A
g) A’ ∪ B
h) A ∩ B’
i) A’ ∩ B’
j) A’ − B’
k) (A∪ B)’
l) (A ∩ B)’
Soluciones:
a) A ∪ B = { a, c, d, e, f, g, h, k, l, m, n}
b) A ∩ B = {a, g, k, l}
c) A’ = {b, c, f, i, j, m}
d) B’ = {b, d, e, h, i, j, n}
e) A − B = { n, h, e, d}
f) B − A = { c, f, m }
g) A’ ∪ B = {a, b, c, f, g, i, j, k, l, m}
h) A ∩ B’ = { n,h,e,d }
i) A’ ∩ B’ = { j, i, b}
j) A’ − ‘B’ = { c, f, m}
k) (A ∪ B)’ = {b, i, j}
l) (A ∩ B)’ = {b, c, d, e, f, h, i, j, m, n}
Principales axiomas y teoremas de probabilidad
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
Axiomas de Kolmogórov:
Primer axioma
La probabilidad de que ocurra un evento cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 ≤ P (E) ≤ 1
Segundo Axioma
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
Tercer Axioma
Si dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, la probabilidad de que alguno ocurra es la suma de las probabilidades de que cada uno ocurra.
P (A U B) = P(A) + P(B)
Nota: En matemáticas, un axioma es un resultado que se acepta sin que necesite demostración. En este caso, decimos que ésta es la definición axiomática de la probabilidad porque definimos la probabilidad como una función que cumple estos tres axiomas. También podríamos haber escogido unos axiomas diferentes, y entonces para nosotros la probabilidad sería otra cosa.
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Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
La regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
Si A y B son mutuamente excluyente:
P(A o B) = P(A) + P(B) ∩ P(A y B)
Si A y B son no excluyentes Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A
P (B) = probabilidad de ocurrencia del evento B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.