Probabilidad matemática y estadística
La teoría de probabilidades y la estadística matemática son disciplinas matemáticas que utilizan modelos matemáticos para describir fenómenos aleatorios.
La teoría de probabilidades se construye de forma axiomática. Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo constituye una regla general de pensamiento lógico. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros. Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos.
Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará. La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
$$p = Prob {S} = \frac{h}{n}$$
Definición axiomática de probabilidad.
Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad.
$$\mathbf{P} : \mathbf{S} \longrightarrow \mathbb{R}$$
De este axioma se desprenden los teoremas basados en teoría de conjuntos que definen a la probabilidad. Serán revisados más adelante.
La probabilidad matemática y la probabilidad estadística proporcionan métodos por los cuales se puede obtener información sobre distintas poblaciones, utilizando datos muestrales aleatorios. Esto se conoce como teoría del muestreo. También da las bases para análisis de datos basados en premisas probabilísticas, como los análisis de correlación, de regresión, varianza y análisis factorial.
La aplicación práctica de la teoría de probabilidades y de la estadística matemática se basa en el grado de indeterminación de la ocurrencia de sucesos aleatorios que se puede determinar mediante una probabilidad. En este contexto, el concepto matemático de probabilidad se define de forma objetiva y cuantitativa. Debemos diferenciarlo del concepto probable que utilizamos en lenguaje común y que tiene un carácter subjetivo basado en proposiciones cualitativas.