Variables aleatorias
Variables aleatorias
Definición
Variable aleatoria es una función, que asigna eventos a números reales. Es decir, asigna a cada resultado del espacio muestral un número real.
Además estos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.
Notación
X = variable aleatoria
x = valor de la variable aleatoria (v. a.)
Una variable aleatoria se puede concebir como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles.
Por ejemplo, en una epidemia, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme. Al arrojar una moneda sabemos que se pueden obtener dos resultados: águila o sol, pero no sabemos cual de estos va a ocurrir. Existe una probabilidad conocida de que salga águila. Y existe una probabilidad conocida de que caiga sol.
Para trabajar con variables aleatorias es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios para su tratamiento estadístico y cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
Formalmente una variable aleatoria X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio. Es decir
$$X : \rightarrow \mathbb{R}$$
El rango de una variable aleatoria X representado como RX, es el rango de la función X y se define como el conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida como
$$R_x = \{ x \in \mathbb{R} \mid \exists w \in \Omega : X(w) =x \}$$
Este galimatías se lee así: El rango de una variable aleatoria x pertence a los reales y dado que un evento w existe en el espacio muestral Ω el valor que toma el evento es la variable aleatoria.
Ejemplo
Al lanzar dos dados, se anota la suma de lo obtenido. Sea X la variable aleatoria suma de los dos dados.
En este caso el espacio muestral está dado como
Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
vemos que Rx={x⟶ℝ}
y que el rango está dado por el conjunto
Rx={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Tipos de variables aleatorias
Existen dos tipos de variables aleatorias: Discretas y continuas.
Las variables aleatorias discretas tienen su dominio en los números enteros. Por ejemplo, número de personas, número de elementos
x ∈ ℕ
Ejemplo: ¿Cuántos hijos tiene una familia?
Las variables aleatorias continuas tienen su dominio en los números reales. Es decir, puede haber valores intermedios. Por ejemplo, el peso o la altura.
x ∈ ℝ
Ejemplo: ¿Cuál es el peso promedio de los alumnos de probabilidad?